令 $b=a^{\frac 1{\rm e}}$，则 $b>1$，且函数 $y=b^x$ 与 $y={\log_b}x$ 的图象有两个不同的交点．设 $(m,n)$ 为其中一个交点，则有$$b^m=n,b^n=m,$$若 $m\ne n$，则有 $\dfrac {b^m-b^n}{m-n}=-1$，这不可能，所以这两个函数的交点只能在 $y=x$ 上，即 $y=b^x$ 与 $y=x$ 有两个不同的交点，令 $f(x)=b^x-x$，则有$$f'(x)=b^x\ln b-1=\ln b\left(b^x-\dfrac 1{\ln b}\right).$$所以函数 $y=f(x)$ 在 $\left(0,{\log_b}{\dfrac 1{\ln b}}\right)$ 上单调递减，在 $\left({\log_b}{\dfrac 1{\ln b}},+\infty\right)$ 上单调递增，从而有$$f\left({\log_b}{\dfrac 1{\ln b}}\right)=\dfrac 1{\ln b}-{\log_b}\dfrac 1{\ln b}<0,$$又因为$$\dfrac 1{\ln b}-{\log_b}\dfrac 1{\ln b}={\log_b}e-{\log_b}\dfrac 1{\ln b}={\log_b}({\rm e}\ln b),$$所以有 ${\rm e}\ln b<1$，从而 $\ln b<\dfrac 1{\rm e}$，解得 $1<b<{\rm e}^{\frac 1{\rm e}}$，所以 $a\in(1,\rm e)$．