可以直接利用不等式$$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{16y+100}\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{180}=6\sqrt{10},$$等号当 $x=0,y=5$ 时取得．从而可得所求代数式的最大值为 $6\sqrt{10}$．接下来给出一个几何解释．
将 $25=x^2+y^2$ 代入，有$$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}=\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}.$$于是问题转化为圆 $x^2+y^2=25$ 上一点 $P$ 到点 $M(3,-4)$ 和 $N(-3,-4)$ 的距离之和 $PM+PN$ 的最大值．猜想当 $P$ 点位于 $(0,5)$ 时取得最大值，最大值为 $6\sqrt {10}$，证明如下．以 $M,N$ 为焦点，$6\sqrt{10}$ 为长轴长的椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{90}+\dfrac{(y+4)^2}{81}=1,$$因此若点 $(x,y)$ 在椭圆上，就有$$x^2+y^2-25=90\left[1-\dfrac{(y+4)^2}{81}\right]+y^2-25=\dfrac 19(5-y)(85+y)\geqslant 0,$$这就意味着除 $(0,5)$ 外，圆 $x^2+y^2=25$ 上的其它点都在椭圆的内部，于是 $PM+PN\leqslant 6\sqrt{10}$．
综上所述，所求的最大值为 $6\sqrt{10}$．