在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O_1,O_2$ 均与 $x$ 轴相切，且圆心 $O_1,O_2$ 与原点 $O$ 共线，$O_1,O_2$ 两点的横坐标之积为 $5$．设圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相交于 $P,Q$ 两点，直线 $l:2x-y-8=0$，则 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac{3\sqrt 5}{5} $
【解析】
如图，不妨设圆 $O_1$ 的半径小于圆 $O_2$ 的半径，圆 $O_1,O_2$ 与 $x$ 轴分别相切于点 $A,B$，$OP$ 与圆 $O_1$ 的交点为 $R$．
由于圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 以 $O$ 为中心位似，因此弧 $RA$ 与弧 $PB$ 所对的圆周角相等，从而$$\angle OAR=\angle OPA=\angle OBP,$$可得 $\triangle OAP$ 与 $\triangle OPB$ 相似，于是$$OP^2=OA\cdot OB=5,$$为定值．
这就意味着 $P$ 点的轨迹是以 $O$ 为圆心，$\sqrt 5$ 为半径的圆（去掉 $x$ 轴上的两点），不难得到 $P$ 点到直线 $l$ 的距离的最小值为$$\dfrac{|-8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}-\sqrt 5=\dfrac{3\sqrt 5}{5}.$$
由于圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 以 $O$ 为中心位似，因此弧 $RA$ 与弧 $PB$ 所对的圆周角相等，从而$$\angle OAR=\angle OPA=\angle OBP,$$可得 $\triangle OAP$ 与 $\triangle OPB$ 相似，于是$$OP^2=OA\cdot OB=5,$$为定值．这就意味着 $P$ 点的轨迹是以 $O$ 为圆心，$\sqrt 5$ 为半径的圆（去掉 $x$ 轴上的两点），不难得到 $P$ 点到直线 $l$ 的距离的最小值为$$\dfrac{|-8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}-\sqrt 5=\dfrac{3\sqrt 5}{5}.$$
题目
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