在正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，若点 $P$（异于点 $B$）是棱上一点，则满足 $BP$ 和 $AC'$ 所成的角为 $45^\circ$ 的点 $P$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 3 $
【解析】
如图，当动点 $M$ 在直线上运动时，直线 $PM$ 与某固定方向所成的角会先由 $0^\circ$（无法取得）增大到 $90^\circ$ 然后减小到 $0^\circ$（无法取得）．
于是我们可以将正方体的各个顶点（除 $B$ 点外）染色，当顶点与 $B$ 的连线与直线 $AC'$ 所成的角大于等于 $45^\circ$ 时染为实心，否则染为空心，如下图．
当某条棱的两个端点为一空一实时，根据零点的存在性定理与之前的论述，该棱上存在唯一一个符合题意的点；当某条棱的两个端点均为实心时，该棱上不存在符合题意的点；当某条棱的两个端点均为空心时，需要仔细考虑．综上，符合题意的点共有 $3$ 个，分别位于棱 $B'C',CC',C'D'$ 上．
于是我们可以将正方体的各个顶点（除 $B$ 点外）染色，当顶点与 $B$ 的连线与直线 $AC'$ 所成的角大于等于 $45^\circ$ 时染为实心，否则染为空心，如下图．当某条棱的两个端点为一空一实时，根据零点的存在性定理与之前的论述，该棱上存在唯一一个符合题意的点；当某条棱的两个端点均为实心时，该棱上不存在符合题意的点；当某条棱的两个端点均为空心时，需要仔细考虑．综上，符合题意的点共有 $3$ 个，分别位于棱 $B'C',CC',C'D'$ 上．
题目
答案
解析
备注
