点 $P$ 到点 $A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)$ 及到直线 $x=-\dfrac 12$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 $a$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \pm \dfrac{1}{2} $
【解析】
注意到 $P$ 点在以 $A$ 为焦点，直线 $x=-\dfrac 12$ 为准线的抛物线 $E:y^2=2x$ 上．因此可设 $P\left(2t^2,2t\right)$，于是由 $P$ 到焦点 $A$ 与到点 $B$ 的距离相等，得$$2t^2+\dfrac 12=\sqrt{(2t^2-a)^2+(2t-2)^2},$$整理得$$ (2-4a)t^2-8t+a^2+\dfrac{15}4=0.$$该方程的解集有且只有一个元素，因此$$2-4a=0\lor\begin{cases}2-4a\neq 0\\\Delta=0,\end{cases}$$解得 $a=\dfrac 12$ 或 $a=-\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
