题目 已知 $F$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}5+y^2=1$ 的右焦点，第一象限内的点 $M$ 在椭圆上，若 $MF$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $MN$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切于第四象限内的点 $N$，则 $NF$ 的长度为<nn> </nn>． 答案 $ \dfrac{\sqrt{21}}{3} $ 解析 如图，半通径 $MF=\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$OF=2$，$OM=\sqrt{\dfrac{21}5}$，$ON=1$，$MN=\dfrac{4}{\sqrt 5}$．<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/aea9aedc70cf2355a1d15e9dad795948.png" class="img-responsive" />于是由Ptolemy定理得$$OM\cdot NF+ON\cdot MF=OF\cdot MN,$$代入数据计算可得$$NF=\dfrac{\sqrt{21}}{3}.$$ 备注 每日一题[63]托勒密定理．