设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|\leqslant 2b$，则 $C$ 的离心率的取值范围是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意，点 $B(0,b)$．设 $P(x_0,y_0)$，则 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_0^2=a^2(1-\frac{y_0^2}{b^2})$．故$$|PB|^2=x_0^2+(y_0-b)^2=a^2(1-\frac{y_0^2}{b^2})+y_0^2-2by_0+b^2=-\frac{c^2}{b^2}y_0^2-2by_0+a^2+b^2,y_0\in [-b,b].$$由题意，当 $y_0=-b$ 时，$|PB|^2$ 最大．则 $-\frac{b^3}{c^2}\leqslant -b, b^2\geqslant c^2, a^2-c^2\geqslant c^2, c=\frac{c}{a}\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $e\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
题目
答案
解析
备注
