显然 $x=0$ 时符合题意；
当 $x>0$ 时，考虑到向量 $(\sqrt{x-y},\sqrt y)$ 的模为定值 $\sqrt x$，因此以原点为起点，向量 $(\sqrt{x-y},\sqrt y)$ 的终点是以原点为圆心，$\sqrt x$ 为半径的圆在第一象限的部分（再加上弧的两个端点）．不难得到数量积$$(2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)$$的取值范围是$$(2,4)\cdot (\sqrt x,0)\leqslant (2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)\leqslant \sqrt x\cdot\sqrt {20},$$这样就建立了不等式$$2\sqrt x\leqslant x\leqslant \sqrt{20x},$$解得 $4\leqslant x\leqslant 20$．
综上所述，$x$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [4,20]$．
其他解法也可以通过不等式去求范围：因为 $x=4\sqrt y+2\sqrt{x-y}$，而$$RHS\leqslant \sqrt{4^2+2^2}\cdot\sqrt{y+x-y}=\sqrt{20x},$$所以有 $x\leqslant 20$，当且仅当 $4x=5y=80$ 时取等号．
又因为 $x\geqslant 0$，对 $x=4\sqrt y+2\sqrt{x-y}$ 两边平方得$$x^2=4\left(x+3y+4\sqrt{y(x-y)}\right )\geqslant 4x,$$当且仅当 $y=0$ 时取等号，从而有 $x=0\lor x\geqslant 4$．这些通过不等式求范围的过程本质上正是上面通过向量体现的几何意义．