对任意的实数 $m,n$，当 $0<n<m<\dfrac 1a$ 时，恒有 $\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$ 成立，则实数 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
先做一些初步估计，必要时再做细致的计算．
当 $a<1$ 时，取 $m=1$，则 $0<n<1$，此时不等式为 $n>n^a$，显然不成立；
当 $a=1$ 时，有 $0<n<m<1$，题中不等式即$$\dfrac 1m\ln n-\dfrac 1n\ln m>\ln n-\ln m,$$即$$\dfrac 1m\ln\dfrac 1n-\dfrac 1n\ln \dfrac 1m<\ln\dfrac 1n-\ln\dfrac 1m,$$也即$$\dfrac {\ln\dfrac 1n}{\dfrac 1n-1}<\dfrac{\ln \dfrac 1m}{\dfrac 1m-1}.$$考虑函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}$（$x>1$），其导函数$$f'(x)=\dfrac{\ln\dfrac 1x-\dfrac 1x+1}{(x-1)^2}<0,$$因此题中不等式恒成立．
当 $a<1$ 时，取 $m=1$，则 $0<n<1$，此时不等式为 $n>n^a$，显然不成立；
当 $a=1$ 时，有 $0<n<m<1$，题中不等式即$$\dfrac 1m\ln n-\dfrac 1n\ln m>\ln n-\ln m,$$即$$\dfrac 1m\ln\dfrac 1n-\dfrac 1n\ln \dfrac 1m<\ln\dfrac 1n-\ln\dfrac 1m,$$也即$$\dfrac {\ln\dfrac 1n}{\dfrac 1n-1}<\dfrac{\ln \dfrac 1m}{\dfrac 1m-1}.$$考虑函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}$（$x>1$），其导函数$$f'(x)=\dfrac{\ln\dfrac 1x-\dfrac 1x+1}{(x-1)^2}<0,$$因此题中不等式恒成立．
题目
答案
解析
备注
