设 $a$ 为实数，若函数 $y=\dfrac 1x$ 的图象上存在三个不同的点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$ 满足$$x_1+y_2=x_2+y_3=x_3+y_1=a,$$则 $a$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm 1$
【解析】
条件即$$x_1+\dfrac{1}{x_2}=x_2+\dfrac{1}{x_3}=x_3+\dfrac{1}{x_1}=a.$$这里共有 $4$ 个未知数，$3$ 个方程，可以考虑用消元的策略解决问题．
根据条件，有$$x_3=\dfrac{ax_1-1}{x_1},$$从而$$x_2=a-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{(a^2-1)x_1-a}{ax_1-1},$$进而由 $x_1+\dfrac{1}{x_2}=a$ 可得$$x_1+\dfrac{ax_1-1}{(a^2-1)x_1-a}=a,$$整理得$$(a^2-1)(x_1^2+1-ax_1)=0,$$于是$$a=\pm 1 \lor a=x_1+\dfrac{1}{x_1}.$$一方面，若 $a=1$，取 $x_1=-1$，则 $x_3=2$，$x_2=\dfrac 12$，于是 $a$ 可以取得 $1$；类似的，当 $x_1=1$，$x_3=-2$，$x_2=-\dfrac 12$ 时，$a$ 可以取得 $-1$．
另一方面，若 $a=x_1+\dfrac{1}{x_1}$，则 $x_2=x_1$，与 $A,B,C$ 是不同的三点矛盾．
综上所述，$a$ 的值为 $\pm 1$．
根据条件，有$$x_3=\dfrac{ax_1-1}{x_1},$$从而$$x_2=a-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{(a^2-1)x_1-a}{ax_1-1},$$进而由 $x_1+\dfrac{1}{x_2}=a$ 可得$$x_1+\dfrac{ax_1-1}{(a^2-1)x_1-a}=a,$$整理得$$(a^2-1)(x_1^2+1-ax_1)=0,$$于是$$a=\pm 1 \lor a=x_1+\dfrac{1}{x_1}.$$一方面，若 $a=1$，取 $x_1=-1$，则 $x_3=2$，$x_2=\dfrac 12$，于是 $a$ 可以取得 $1$；类似的，当 $x_1=1$，$x_3=-2$，$x_2=-\dfrac 12$ 时，$a$ 可以取得 $-1$．
另一方面，若 $a=x_1+\dfrac{1}{x_1}$，则 $x_2=x_1$，与 $A,B,C$ 是不同的三点矛盾．
综上所述，$a$ 的值为 $\pm 1$．
题目
答案
解析
备注
