在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且满足 $b^2-a^2=ac$，则 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$
【解析】
作 $CD\perp AB$ 于点 $D$．
如图，有\[\begin{split} b^2-a^2&=(AD^2+CD^2)-(BD^2+CD^2)\\ &=AD^2-BD^2\\ &=AB\cdot (AD-BD),\end{split}\]因此 $AD-BD=a$，从而 $BD=\dfrac{c-a}2$．于是$$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{AD-BD}{CD}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-\left(\dfrac{c-a}2\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{-t^2+2t+3}},$$其中 $t=\dfrac ca$．
考虑到锐角三角形的限制，有$$\begin{cases} a^2+b^2=2a^2+ac>c^2,\\a^2+c^2>b^2=ac+a^2,\end{cases}$$从而解得$$1<\dfrac ca<2,$$于是 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．
如图，有\[\begin{split} b^2-a^2&=(AD^2+CD^2)-(BD^2+CD^2)\\ &=AD^2-BD^2\\ &=AB\cdot (AD-BD),\end{split}\]因此 $AD-BD=a$，从而 $BD=\dfrac{c-a}2$．于是$$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{AD-BD}{CD}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-\left(\dfrac{c-a}2\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{-t^2+2t+3}},$$其中 $t=\dfrac ca$．考虑到锐角三角形的限制，有$$\begin{cases} a^2+b^2=2a^2+ac>c^2,\\a^2+c^2>b^2=ac+a^2,\end{cases}$$从而解得$$1<\dfrac ca<2,$$于是 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．
题目
答案
解析
备注
