原命题等价于$$\begin{cases} \forall x\in (0,1],a\geqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\\ \forall x \in [-2,0),a\leqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\end{cases}$$也即$$\begin{cases} \forall x \geqslant 1,a\geqslant -3x^3-4x^2+x,\\ \forall x\leqslant -\dfrac 12,a\leqslant -3x^3-4x^2+x.\end{cases}$$记函数 $f(x)=-3x^3-4x^2+x$，则其导函数 $f'(x)=-(9x-1)(x+1)$，于是函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值为 $f(1)=-6$；函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$ 上的最小值为 $f(-1)=-2$．因此 $a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$．