设 $f(x)=\ln (1+x)-\sqrt{1+2x}+1$，则 $b-c=f(0.02)$．易得$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2}{2\sqrt{1+2x}}=\frac{\sqrt{1+2x}-(1+x)}{(1+x)\sqrt{1+2x}}.$$当 $x\geqslant 0$ 时，$1+x=\sqrt{(1+x)^2}\geqslant \sqrt{1+2x}$，故 $f'(x)\leqslant 0$．
所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减．所以 $f(0.02)<f(0)=0$．故 $b<c$．
再设 $g(x)=2\ln(1+x)-\sqrt{1+4x}+1$，则 $a-c=g(0.01)$．易得$$g'(x)=\frac{2}{1+x}-\frac{4}{2\sqrt{1+4x}}=2\cdot \frac{\sqrt{1+4x}-(1+x)}{(1+x)\sqrt{1+4x}}.$$当 $0\leqslant x<2$ 时，$\sqrt{1+4x}\geqslant \sqrt{1+2x+x^2}=1+x$．所以 $g'(x)$ 在 $[0,2)$ 上 $\geqslant 0$．
故 $g(x)$ 在 $[0,2)$ 上单调递增，所以 $g(0.01)>g(0)=0$．故 $a>c$．
综上，$a>c>b$．