已知存在唯一的实数对 $(p,q)$，使不等式 $\left|\sqrt{r^2-x^2}-px-q\right|\leqslant t$（其中 $r,t>0$）对任意的 $x\in [0,r]$ 恒成立，则 $\dfrac tr=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac tr=\dfrac{\sqrt 2-1}2$
【解析】
根据题意，有$$\forall x\in [0,r],px+q-t\leqslant \sqrt{r^2-x^2}\leqslant px+q+t,$$这就意味着四分之一圆弧 $x^2+y^2=r^2$（$x,y\geqslant 0$）夹在两条平行直线之间，而 $t$ 控制这两条直线的截距之差，如图．
显然，当 $t=\left(\dfrac{\sqrt 2}2-\dfrac 12\right)r$ 时（此时 $t$ 最小），实数对 $(p,q)$ 是唯一的（否则就有调整的空间）．因此所求的 $\dfrac tr=\dfrac{\sqrt 2-1}2$．
显然，当 $t=\left(\dfrac{\sqrt 2}2-\dfrac 12\right)r$ 时（此时 $t$ 最小），实数对 $(p,q)$ 是唯一的（否则就有调整的空间）．因此所求的 $\dfrac tr=\dfrac{\sqrt 2-1}2$．
题目
答案
解析
备注
