题中方程组可以变形为$$\begin{cases} x^2+y^3=29,\\ {\log_3}x^2\cdot {\log_3}y^3=6,\end{cases}$$于是问题可以转化为求关于 $x,y$ 的方程组$$\begin{cases} x+y=29,\\ \ln x \cdot \ln y=6\ln 2\cdot \ln 3,\end{cases}$$的实数解组数，即关于 $x$ 的方程$$\ln x\cdot \ln (29-x)=6\ln 2\cdot \ln 3$$的实数解个数．
显然，有 $1<x<28$，令 $f(x)=\ln x\cdot \ln (29-x)$（$x\in (1,28)$），则其导函数$$f'(x)=\dfrac{(29-x)\ln (29-x)-x\ln x}{x(29-x)},1<x<28,$$考虑到函数 $y= x\ln x$ 在 $(1,28)$ 上单调递增，于是函数 $y=(29-x)\ln (29-x)-x\ln x,1<x<28$ 单调递减，在区间 $(1,28)$ 上有唯一零点 $x=\dfrac {29}2$．因而函数 $f(x)$ 在 $\left(1,\dfrac{29}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{29}2,28\right)$ 上单调递减，考虑到$$f(1)=0,f\left(\dfrac{29}2\right)=\ln ^2\dfrac{29}2> \ln 8\cdot \ln 9=6\ln 2\cdot \ln 3,f(28)=0,$$因此关于 $x$ 的方程$$\ln x\cdot \ln (29-x)=6\ln 2\cdot \ln 3$$的实数解个数为 $2$．
综上所述，题中方程组的不同实数解的组数为 $2$．