不妨令 $b=2$，则由二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 有零点可得 $ac\leqslant 1$，此时$$\min\left\{\dfrac {b+c}a,\dfrac{c+a}b,\dfrac{a+b}c\right\}=\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{c+2}a,\dfrac{a+2}c\right\}.$$注意到 $a,c$ 对称，不妨设 $a\leqslant c$，于是 $0<a\leqslant 1$，且有$$\dfrac{c+2}a\geqslant \dfrac{a+2}c,$$从而$$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{c+2}a,\dfrac{a+2}c\right\}=\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}.$$进而当 $c\geqslant 2$ 时，有$$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}=\dfrac{a+2}c\leqslant \dfrac{\dfrac 12+2}2=\dfrac 54,$$当 $a\leqslant c<2$ 时，有$$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}=\dfrac{a+c}2.$$此时若 $0<a\leqslant \dfrac 12$，则$$\dfrac{a+c}2<\dfrac{\dfrac 12+2}{2}=\dfrac 54,$$若 $\dfrac 12<a<1$，则$$\dfrac{a+c}2\leqslant \dfrac{a+\dfrac 1a}{2}<\dfrac 54,$$综上所述，所求的最大值为 $\dfrac 54$．当 $a:b:c=1:4:4$ 或 $a:b:c=4:4:1$ 时取到．