设 $x,y,z\in [0,1]$，则 $\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 2+1$
【解析】
由于 $x,y,z$ 对称，因此不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，于是\[\begin{split} \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}&=\sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z}\\ &\leqslant \sqrt{2[(x-y)+(y-z)]}+\sqrt{x-z}\\ &=(\sqrt 2+1)\sqrt{x-z}\\&\leqslant \sqrt 2+1,\end{split}\]等号当 $x=1,y=\dfrac 12,z=0$ 时取得．因此所求的最大值为 $\sqrt 2+1$．
题目
答案
解析
备注
