在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $B$ 为曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上的动点，$A(2,0)$，点 $C$ 位于第一象限且 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，且 $A$ 为直角顶点，则线段 $OC$ 长度的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1+2\sqrt 2$
【解析】
分两类讨论．
当四边形 $OACB$ 为凸四边形时，如左图，根据广义托勒密定理，有$$OC\cdot AB\leqslant OB\cdot AC+OA\cdot BC=AB+2\sqrt 2AB,$$于是 $OC\leqslant 1+2\sqrt 2$，等号当 $O,A,C,B$ 四点共圆时取得，于是此时 $OC$ 的最大值为 $1+2\sqrt 2$．
当四边形 $OACB$ 不是凸四边形时，如右图．有$$OC\leqslant OB+BC=OB+{\sqrt 2}AC<OB+\sqrt 2{OA}=1+2\sqrt 2.$$
当四边形 $OACB$ 为凸四边形时，如左图，根据广义托勒密定理，有$$OC\cdot AB\leqslant OB\cdot AC+OA\cdot BC=AB+2\sqrt 2AB,$$于是 $OC\leqslant 1+2\sqrt 2$，等号当 $O,A,C,B$ 四点共圆时取得，于是此时 $OC$ 的最大值为 $1+2\sqrt 2$．当四边形 $OACB$ 不是凸四边形时，如右图．有$$OC\leqslant OB+BC=OB+{\sqrt 2}AC<OB+\sqrt 2{OA}=1+2\sqrt 2.$$
题目
答案
解析
备注
