设直线 $l$ 的斜率为 $k$，$k\neq 0$ 且 $k\neq \dfrac ba$，直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $S(k)$．
定性分析不妨设 $a,b>0$．如图所示，当 $k\in (-\infty,0)$ 时，$S(k)$ 先从正无穷大单调递减，当 $P$ 为直线 $l$ 被两坐标轴所截得的线段的中点时取得最小值，再单调递增到正无穷大；当 $k\in \left(0,\dfrac ba\right)$ 时，$S(k)$ 从正无穷大单调递减到 $0$；当 $k\in\left(\dfrac ba,+\infty\right)$ 时，$S(k)$ 从 $0$ 单调递增到正无穷大．因此不同的 $M$（$M>0$）对应的 $k$ 的值可能为 $2,3,4$ 个，进而这样的直线可能有 $2,3,4$ 条．定量计算直线 $l:y=k(x-a)+b$，于是直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积$$\begin{split} S(k)=&\dfrac 12\left|-\dfrac{b}{k}+a\right|\cdot\left|-ak+b\right|\\=&\dfrac 12\left|a^2k+\dfrac{b^2}{k}-2ab\right|\\=&\dfrac 12\left[a^2|k|+\dfrac{b^2}{|k|}-2ab\cdot \dfrac{k}{|k|}\right],\end{split} $$因此 $S(k)$ 的函数图象如图，不同的 $M$（$M>0$）对应的 $k$ 的值可能为 $2,3,4$ 个，因此这样的直线可能有 $2,3,4$ 条．