易知 $a_{n+1}=\dfrac 12a_n$ 或 $a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}$，为了使得 $a_1$ 尽可能的大，从 $a_1$ 到 $a_{20}$ 的 $19$ 次递推中，前 $18$ 次采用除以 $2$，最后一次采用取倒数，此时$$a_{20}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{18}}a_1}=\dfrac{2^{18}}{a_1},$$于是 $a_1=2^9=512$．
接下来进行严格证明．设这 $19$ 次递推中有 $i-1,i\in\mathbb{N}^*$ 次为取倒数，由题意知 $i-1\geqslant 1$，即 $i\geqslant 2$．
于是这 $19$ 次递推被取倒数分成了 $i$ 段，设各段中递推（即除以 $2$）的次数依次分别为 $p_1,p_2,\cdots,p_i$，其中 $p_i\in\mathbb{N}$．（如果第一次递推为取倒数，我们认为 $p_1=0$．如果最后一次为取倒数，我们认为 $p_i=0$．）于是有$$p_1+p_2+\cdots+p_i+i-1=19.$$比如递推中第 $3,4,7$ 次为取倒数，则 $i=4,p_1=2,p_2=0,p_3=2,p_4=12$．由题意知$$a_{20}=\left[2^{-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i}\cdot a_1\right ]^{(-1)^{i-1}}.$$若 $i$ 为奇数，则 $p_1+p_2+\cdots+p_i$ 为奇数，进而 $-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i$ 也为奇数，不可能有 $a_{20}=2^{-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i}\cdot a_1=a_1$；
若 $i$ 为偶数，则 $p_1+p_2+\cdots+p_i$ 为偶数，进而 $p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^{i}p_i$ 也为偶数，从而有$$a_{20}=2^{p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^{i}p_i}\cdot a_1^{-1}=a_1,$$从而有$$a_1^2=2^{p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^ip_i}\leqslant 2^{p_1+p_2+\cdots+p_i}=2^{20-i}\leqslant 2^{18},$$当且仅当 $i=2,p_2=0$ 时取到等号，即仅有最后一次取倒数时 $a_1$ 取到最大值 $2^9$．这样就证明了 $a_1\leqslant 512$，且要取到等号只能是上面给出的递推方式．