设 $a\sqrt c-2b=x$，$2b=y$，则 $x,y>0$，且 $a\sqrt c=x+y$，于是\[\begin{split} a^2+\dfrac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt c-2b)}&=\dfrac{(x+y)^2}{c}+\dfrac{8(c^2+1)}{xy}\\ &\geqslant \dfrac{4xy}{c}+\dfrac{16c}{xy}\\ &\geqslant 2\sqrt {\dfrac{4xy}{c}\cdot\dfrac{16c}{xy}}\\ &=16,\end{split}\]等号当 $x=y=\sqrt 2$，$c=1$，即 $a=2\sqrt 2$，$b=\dfrac{\sqrt 2}2$，$c=1$ 时取得．
其他方法考虑到 $b$ 都在分母上，有$$\dfrac 12\cdot 2b(a\sqrt c-2b)\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac {2b+a\sqrt c-2b}{2}\right )^2=\dfrac 18a^2c,$$于是\[\begin{split}a^2+\dfrac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt c-2b)}\geqslant &a^2+\dfrac {32}{a^2}\cdot\dfrac {c^2+1}{c}\\\geqslant &a^2+\dfrac {32}{a^2}\cdot\dfrac {2c}{c}=a^2+\dfrac{64}{a^2}\\\geqslant &2\sqrt{a^2\cdot\dfrac {64}{a^2}}=18.\end{split}\]三个等号依次当 $b=\dfrac 14a\sqrt c$，$c=1$ 以及 $a=2\sqrt 2$ 时取到．