整数 $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_{2008}$ 满足条件：$x_0=1$，$|x_1|=|x_0+1|$，$|x_2|=|x_1+1|$，$\cdots $，$|x_{2008}|=|x_{2007}+1|$，则 $|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$37$
【解析】
补充定义 $|x_{2009}|=|x_{2008}+1|$，根据题意，有$$\begin{cases} x_1^2=x_0^2+2x_0+1,\\ x_2^2=x_1^2+2x_1+1,\\ \cdots ,\\ x_{2008}^2=x_{2007}^2+2x_{2007}+1,\\ x_{2009}^2=x_{2008}^2+2x_{2008}+1\end{cases}$$因此$$x_{2009}^2=x_0^2+2(x_0+x_1+\cdots +x_{2008})+2009,$$进而$$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|=\dfrac 12\left|x_{2009}^2-2010\right|,$$由于 $x_{2009}$ 是偶数，而 $44^2<2010<45^2$，因此$$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|\geqslant \dfrac 12|44^2-2010|=37,$$等号当且仅当 $x_{2009}=\pm 44$ 时取得．当数列 $\{x_n\}$ 取$$x_0=x_2=\cdots =x_{1966}=1,x_1=x_3=\cdots =x_{1965}=-2,$$且$$x_{1967}=2,x_{1968}=3,\cdots ,x_{2008}=43,x_{2009}=44$$时，可得所求的最小值为 $37$．
题目
答案
解析
备注
