当 $x=0$ 时，原式值为 $0$；当 $x\ne 0$ 时，由于$$\dfrac{\sqrt{2x^3+7x^2+6x}}{x^2+4x+3}=\dfrac{\sqrt{2x+7+\dfrac 6x}}{x+4+\dfrac 3x}=\dfrac{t}{\dfrac{t^2+1}2}=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},$$其中 $t=\sqrt{2x+7+\dfrac{6}x}$．因为 $x\in (0,3]$，于是 $t$ 的取值范围是 $\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$，进而可得 $t+\dfrac 1t$ 的取值范围是 $[4,+\infty)$，于是原式的最大值为 $\dfrac 12$，当 $x=\sqrt 3$ 时取得．