设 $t$ 是正实数，双曲线 $x^2-y^2=t$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 任作一条直线交双曲线的右支于 $A,B$ 两点，设线段 $AB$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$，则 $\dfrac{|FP|}{|AB|}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 2}2$
【解析】
如图．
不妨设 $t=1$，于是 $F(\sqrt 2,0)$．设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段 $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$，直线 $AB$ 斜率为 $k$．由双曲线的第二定义，可得$$|AB|=\sqrt 2\left(x_1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)+\sqrt 2\left(x_2-\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\sqrt 2(x_1+x_2-\sqrt 2),$$直线 $PM:x-x_0=-k(y-y_0)$，于是$$|FP|=x_0+k{y_0}-\sqrt 2.$$根据双曲线的"垂径定理"，有 $\dfrac{y_0}{x_0}\cdot k=1$，于是 $k{y_0}=x_0$，进而$$|FP|=2x_0-\sqrt 2=x_1+x_2-\sqrt 2,$$因此所求的比值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
不妨设 $t=1$，于是 $F(\sqrt 2,0)$．设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段 $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$，直线 $AB$ 斜率为 $k$．由双曲线的第二定义，可得$$|AB|=\sqrt 2\left(x_1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)+\sqrt 2\left(x_2-\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\sqrt 2(x_1+x_2-\sqrt 2),$$直线 $PM:x-x_0=-k(y-y_0)$，于是$$|FP|=x_0+k{y_0}-\sqrt 2.$$根据双曲线的"垂径定理"，有 $\dfrac{y_0}{x_0}\cdot k=1$，于是 $k{y_0}=x_0$，进而$$|FP|=2x_0-\sqrt 2=x_1+x_2-\sqrt 2,$$因此所求的比值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
题目
答案
解析
备注
