已知 $a,b,c\in\mathbb R$，且 $\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}+\dfrac{1}{1+9c^2}=1$，则 $|6abc-1|$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-1$
【解析】
设 $\dfrac{1}{1+a^2}=x$，$\dfrac{1}{1+4b^2}=y$，$\dfrac{1}{1+9c^2}=z$，则 $x+y+z=1$，且$$\begin{split} (6abc)^2=&a^2\cdot 4b^2\cdot 9c^2\\=&\left(\dfrac 1x-1\right)\left(\dfrac 1y-1\right)\left(\dfrac 1z-1\right)\\=&\dfrac{(y+z)(z+x)(x+y)}{xyz}\geqslant 8,\end{split} $$于是 $6abc$ 的取值范围是 $(-\infty,-2\sqrt 2]\cup[2\sqrt 2,+\infty)$，所求的最小值为 $2\sqrt 2-1$．当 $x=y=z=\dfrac 13$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
