根据题意，有$$\begin{split} \dfrac{x^2+y^2}{x-y}=&\dfrac{x^2+x^{-2}}{x-x^{-1}}\\=&\dfrac{(x-x^{-1})^2+2}{x-x^{-1}}\\=&\left(x-x^{-1}\right)+\dfrac{2}{x-x^{-1}}\\\geqslant &2\sqrt 2,\end{split} $$等号当 $x-x^{-1}=\sqrt 2$ 时取得．因此 $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$ 的最小值为 $2\sqrt 2$．
而$$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}=\dfrac{x^3+x^{-3}}{x-x^{-1}}=\sqrt{\dfrac{x^6+x^{-6}+2}{x^2+x^{-2}-2}},$$令 $x^2+x^{-2}-2=t$，则 $t>0$，且$$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}=\sqrt{\dfrac{(t+2)^3-3(t+2)+2}{t}}=\sqrt{9+t^2+6t+\dfrac 4t},$$设 $f(t)=9+t^2+6t+\dfrac 4t$，则其导函数$$f'(t)=2t+6-\dfrac{4}{t^2}=\dfrac{2(t+1)(t+1-\sqrt 3)(t+1+\sqrt 3)}{t^2},$$于是 $f(t)$ 的最小值为$$f(\sqrt 3-1)=9+6\sqrt 3,$$进而 $\dfrac{x^3+y^3}{x-y}$ 的最小值为 $\sqrt{9+6\sqrt 3}$．