平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A,B,C$ 的坐标分别为 $(a,0),(0,a),(3,4)$，点 $P(x,y)$ 是平面内的任意一点，记 $M(a)=\max\{|PA|,|PB|,|PC|\}$，则 $M(a)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$7-2\sqrt 6$
【解析】
当 $A,B,C$ 三点构成锐角或直角三角形时，$M(a)$ 的最小值为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径．当 $A,B,C$ 构成钝角三角形或共线时，$M(a)$ 的最小值为 $\dfrac 12\max\{|AB|,|BC|,|CA|\}$．
注意，外接圆半径 $r\geqslant \dfrac 12\max\{|AB|,|BC|,|CA|\}$．
回到本题 因为 $\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BA}=a^2-a$，所以下面根据 $a$ 的大小进行分类：
情形一 $a\in [0,1]$．此时 $B$ 为钝角或直角，所以$$M(a)\geqslant \dfrac 12|AC|\geqslant \dfrac 12\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt 5.$$情形二 $a\in (1,3]$．此时设外心坐标 $D(m,m)$，则由线段 $AC$ 的垂直平分线方程$$y=\dfrac{a-3}4\left(x-\dfrac{a+3}2\right)+2$$可得$$m=\dfrac{25-a^2}{14-2a}=7-\left(\dfrac{7-a}2+\dfrac{12}{7-a}\right)\leqslant 7-2\sqrt 6,$$等号当且仅当 $a=7-2\sqrt 6$ 时取得．
此时 $\triangle ABC$ 外接圆的半径最小，为 $7-2\sqrt 6$．
情形三 $a\in (3,+\infty)$．此时$$M(a)\geqslant \dfrac 12|AB|>\dfrac{3\sqrt 2}2>7-2\sqrt 6.$$情形四 $a\in (-\infty,0)$．此时$$M(a)\geqslant \dfrac 12|AC|>\dfrac 52>7-2\sqrt 6.$$因为 $\sqrt 5>7-2\sqrt 6$，所以 $M(a)$ 的最小值为 $7-2\sqrt 6$．
注意，外接圆半径 $r\geqslant \dfrac 12\max\{|AB|,|BC|,|CA|\}$．
此时 $\triangle ABC$ 外接圆的半径最小，为 $7-2\sqrt 6$．
题目
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