已知 $A,B\in [0,\pi]$，则 $\left[\sin A+\sin (A+B)\right]\cdot \sin B$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{8\sqrt 3}9$
【解析】
原式即\[\begin{split} \sin A\sin B+\sin A\sin B\cos B+\cos A\sin^2B
&=(\sin B+\sin B\cos B)\cdot \sin A+\sin^2B\cdot \cos A\\
&\leqslant \sqrt{(\sin B+\sin B\cos B)^2+\sin^4B}\\
&=\sqrt{2\sin ^2B(1+\cos B)}\\
&=\sqrt{(2-2\cos B)(1+\cos B)(1+\cos B)}\\
&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac 43\right)^3}=\dfrac{8\sqrt 3}9,\end{split}\]等号当$$\begin{cases} \dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\cos B}{\sin B},\\ 2-2\cos B=1+\cos B,\end{cases}$$即 $\tan A=\sqrt 2$ 且 $\cos B=\dfrac 13$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{8\sqrt 3}9$．
&=(\sin B+\sin B\cos B)\cdot \sin A+\sin^2B\cdot \cos A\\
&\leqslant \sqrt{(\sin B+\sin B\cos B)^2+\sin^4B}\\
&=\sqrt{2\sin ^2B(1+\cos B)}\\
&=\sqrt{(2-2\cos B)(1+\cos B)(1+\cos B)}\\
&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac 43\right)^3}=\dfrac{8\sqrt 3}9,\end{split}\]等号当$$\begin{cases} \dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\cos B}{\sin B},\\ 2-2\cos B=1+\cos B,\end{cases}$$即 $\tan A=\sqrt 2$ 且 $\cos B=\dfrac 13$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{8\sqrt 3}9$．
题目
答案
解析
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