已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1+z_2|=20$，$|z_1^2+z_2^2|=16$，则 $|z_1^3+z_2^3|$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
$3520$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} |z_1^3+z_2^3|&=\left|(z_1+z_2)(z_1^2-z_1z_2+z_2^2)\right|\\
&=\left|(z_1+z_2)\cdot \dfrac{3(z_1^2+z_2^2)-(z_1+z_2)^2}2\right|\\
&\geqslant |z_1+z_2|\cdot \dfrac {|z_1+z_2|^2-3|z_1^2+z_2^2|}2\\
&=3520,\end{split}\]等号当 $(z_1+z_2)^2$ 与 $z_1^2+z_2^2$ 同向时取到．因此所求的最小值为 $3520$．
&=\left|(z_1+z_2)\cdot \dfrac{3(z_1^2+z_2^2)-(z_1+z_2)^2}2\right|\\
&\geqslant |z_1+z_2|\cdot \dfrac {|z_1+z_2|^2-3|z_1^2+z_2^2|}2\\
&=3520,\end{split}\]等号当 $(z_1+z_2)^2$ 与 $z_1^2+z_2^2$ 同向时取到．因此所求的最小值为 $3520$．
题目
答案
解析
备注
