正 $12$ 边形共有 ${\rm C}_{12}^2=66$ 条线段，设其外接圆半径为 $1$，则其中长度为$$2\sin 15^\circ,2\sin 30^\circ,2\sin 45^\circ,2\sin 60^\circ,2\sin 75^\circ$$的各有 $12$ 条，长度为 $2\sin 90^\circ$ 的有 $6$ 条，将这些边长分别记为 $a,b,c,d,e,f$，则不能构成三角形的三条边的情形有$$aac,aad,aae,aaf,abd,abe,abf,ace,acf,bbf,$$因此所求的概率为$$1-\dfrac{{\rm C}_{12}^2{\rm C}_{42}^1+{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{30}^1+{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{18}^1+{\rm C}_{12}^2{\rm C}_6^1}{{\rm C}_{66}^3}=\dfrac {223}{286}.$$