注意到$$f(x)=\sqrt{10}\cdot \dfrac{5\sin x+3}{\sqrt{\left(5\sin x+3\right)^2+\left(5\cos x+4\right)^2}},$$令 $a=5\sin x+3$，$b=5\cos x+4$，则$$y=\dfrac{5\sin x+3}{\sqrt{\left(5\sin x+3\right)^2+\left(5\cos x+4\right)^2}}$$的几何意义是终边过圆 $(a-3)^2+(b-4)^2=25$（除去原点）上的点 $P(a,b)$ 的角的余弦（横坐标与到原点距离的比）．考虑一个周期内的取值，可得终边过 $P$ 的角的取值范围是 $\left(-\arccos\dfrac 45,\pi-\arccos\dfrac 45\right)$，因此余弦值的取值范围是 $\left(-\dfrac 45,1\right]$，因此所求函数的值域为 $\left(-\dfrac {4\sqrt{10}}5,\sqrt{10}\right]$．