设函数 $f(x)=\sqrt{{\mathrm e}^x+x-a}$（$a\in\mathbb R$）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在点 $(x_0,y_0)$ 使得 $f(f(y_0))=y_0$，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
$[1,{\mathrm e}]$
【解析】
由于 $f(x)$ 单调递增，于是问题等价于 $f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 在 $[0,1]$ 上有公共点，即关于 $x$ 的方程\[\sqrt{{\mathrm e}^{x}+x-a}=x\]在 $[0,1]$ 上有解，于是有$$a={\mathrm e}^{x}-x^{2}+x,x\in[0,1].$$记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)={\mathrm e}^{x}-2x+1>0,\]所以 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，从而有 $a$ 的取值范围是 $\left[g(0),g(1)\right]$，也即 $[1,{\mathrm e}]$．
题目
答案
解析
备注
