设曲线 $C:y=f(x)$，其导函数为 $f'(x)$，则在 $x=x_0$ 处曲线 $C$ 的切线为$$l:y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$令 $h(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)$，若直线 $l$ 在 $P$ 处“切过”曲线 $C$，即 $x=x_0$ 是函数 $h(x)$ 的变号零点．
显然，判断是否满足条件（i）的标准是 $h(x_0)=h'(x_0)=0$．接下来研究判断是否满足条件（ii）的标准．
设 $h^{(n)}(x)$（$n\in{\mathbb N^*}$）表示函数 $h(x)$ 的 $n$ 阶导函数，并记 $h^{(0)}(x)=h(x)$．
若 $h^{(n)}(x)$ 在 $x_0$ 的小邻域内满足保号性，那么 $h^{(n-1)}(x)$ 在 $x_0$ 的小邻域内单调．于是 $x=x_0$ 是 $h^{(n-1)}(x)$ 的变号零点，这样就有 $x=x_0$ 是函数 $h^{(n-2)}(x)$ 的极值点，进而 $h^{(n-2)}(x)$ 在 $x_0$ 的小邻域内保号．也就是：
保号（不变号）$\to$ 单调（变号零点）$\to$ 保号（不变号）$\to$ 单调（变号零点）$\to\cdots$
这个推理过程可以递推下去．这样就可以得到判断是否满足条件（ii）的标准：若存在最大自然数 $n$ 使得函数 $h^{(n)}(x)$ 在 $x=x_0$ 处的函数值为零，则定义 $n=N(h,x_0)$，则当 $N(h,x_0)$ 为偶数时，$x=x_0$ 是函数 $h(x)$ 的变号零点，而当 $N(h,x_0)$ 为奇数时，$x=x_0$ 不是函数 $h(x)$ 的变号零点．
把两个判断标准结合起来，就得到了判断直线 $l$ 是否在 $x=x_0$ 处“切过”曲线 $C$ 的充要条件：$N(h,x_0)$ 为不小于 $2$ 的偶数．例如，对 ①，$N(x^3,0)=2$，因此直线 $y=0$“切过”曲线 $y=x^3$；而对 ⑤，$N(\ln x-(x-1),1)=1$，因此直线 $y=x-1$ 不“切过”曲线 $y=\ln x$．