已知函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac 12x^2+bx$ 存在极小值，且对于 $b$ 的所有可能取值，$f(x)$ 的极小值恒大于 $0$，则 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-{\rm e}^3$
【解析】
根据题意，$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-x^2+bx+a}{x},$$设函数 $f(x)$ 的极小值点为 $x=m$，则 $-m^2+bm+a=0$，且 $0<m<\sqrt{-a}$．于是 $f(x)$ 的极小值$$\varphi(m)=a\ln m-\dfrac 12m^2+bm=a\ln m+\dfrac 12m^2-a,$$而 $\varphi(m)$ 的导函数$$\varphi'(m)=\dfrac{a}{m}+m<0,$$于是 $\varphi(m)$ 满足$$\varphi(\sqrt{-a})=a\ln \sqrt{-a}-\dfrac 32a\geqslant 0,$$解得 $a\geqslant -{\rm e}^3$，因此 $a$ 的最小值为 $-{\rm e}^3$．
题目
答案
解析
备注
