已知 $a,b,c>0$，则 $\max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac 1a+bc,\dfrac ab+c\right\}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
考虑到\begin{eqnarray*}\begin{split}\max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac 1a+bc,\dfrac ab+c\right\}&\geqslant \max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac ab+c\right\}\\
&\geqslant \dfrac{\dfrac 1{ac}+b+\dfrac ab+c}{2}\\
&\geqslant 2\left(\dfrac 1{ac}\cdot b\cdot \dfrac ab\cdot c\right)^{\frac 14}\\
&=2,\end{split} \end{eqnarray*}而等号当 $a=b=c=1$ 时可以取得．因此所求的最小值为 $2$．
&\geqslant \dfrac{\dfrac 1{ac}+b+\dfrac ab+c}{2}\\
&\geqslant 2\left(\dfrac 1{ac}\cdot b\cdot \dfrac ab\cdot c\right)^{\frac 14}\\
&=2,\end{split} \end{eqnarray*}而等号当 $a=b=c=1$ 时可以取得．因此所求的最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
