设 $M(x,y)$，则$$\begin{cases} \overrightarrow{AM}\parallel (a,b),\\ ax+by+c=0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} bx-ay=3a,\\ ax+by=a-2b,\end{cases}$$解得$$\begin{cases} x=\dfrac{a^2+ab}{a^2+b^2},\\ y=\dfrac{-3a^2+ab-2b^2}{a^2+b^2},\end{cases}$$不妨设 $a=r\sin\theta$，$b=r\cos\theta$，其中 $r\ne 0$，则有$$\begin{cases} x=\dfrac{1-\cos2\theta}2+\dfrac 12\sin 2\theta,\\ y=-\dfrac{3(1-\cos 2\theta)}2-\left(1+\cos 2\theta\right)+\dfrac 12\sin2\theta,\end{cases}$$整理得$$\begin{cases} x-\dfrac 12=\dfrac 12\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta,\\ y+\dfrac 52=\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12\sin 2\theta,\end{cases}$$这样就有$$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 52\right)^2=\dfrac 12,$$进而可得 $|MN|$ 的最大值为$$\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$