设 $F$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左焦点，在 $x$ 轴上 $F$ 点的右侧有一点 $A$，以 $FA$ 为直径的圆与双曲线左、右两支在 $x$ 轴上方的交点分别为 $M,N$，则 $\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac ac$
【解析】
如图．
设 $\angle MFA=\alpha$，$\angle NFA=\beta$，则$$|FM|=\dfrac{b^2}{c\cos\alpha+a},|FN|=\dfrac{b^2}{c\cos\beta-a},$$两式相比可得$$\dfrac{|FM|}{|FN|}=\dfrac{c\cdot \dfrac{|FN|}{|FA|}-a}{c\cdot \dfrac{|FM|}{|FA|}+a}=\dfrac{c|FN|-a|FA|}{c|FM|+a|FA|},$$即$$c|FM|^2+a|FA|\cdot |FM|=c|FN|^2-a|FA|\cdot |FN|,$$也即$$\left(|FM|+|FN|\right)\cdot\left(c|FM|-c|FN|+a|FA|\right)=0,$$从而可得$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac ac.$$
设 $\angle MFA=\alpha$，$\angle NFA=\beta$，则$$|FM|=\dfrac{b^2}{c\cos\alpha+a},|FN|=\dfrac{b^2}{c\cos\beta-a},$$两式相比可得$$\dfrac{|FM|}{|FN|}=\dfrac{c\cdot \dfrac{|FN|}{|FA|}-a}{c\cdot \dfrac{|FM|}{|FA|}+a}=\dfrac{c|FN|-a|FA|}{c|FM|+a|FA|},$$即$$c|FM|^2+a|FA|\cdot |FM|=c|FN|^2-a|FA|\cdot |FN|,$$也即$$\left(|FM|+|FN|\right)\cdot\left(c|FM|-c|FN|+a|FA|\right)=0,$$从而可得$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac ac.$$
题目
答案
解析
备注
