根据题意，有$$(a_1+1)(a_2-8)=5,$$于是 $a_1=4$，$a_2=9$，从而$$a_n=5n-1,n\in\mathbb N^*.$$考虑到当 $n$ 模 $5$ 的余数为 $0,1,2,3,4$ 时，$n^2$ 模 $5$ 的余数分别为 $0,1,4,4,1$．于是 $\{c_n\}$ 为模 $5$ 余 $2$ 或 $3$ 的正整数从小到大排列得到的数列，进而 $c_{2n-1}$ 表示第 $n$ 个模 $5$ 余 $2$ 的数，即$$c_{2n-1}=(5n-3)^2,n\in\mathbb N^*.$$而$$\sqrt{1+\dfrac{1}{b_n}+\dfrac{1}{b_{n+1}}}=\sqrt{1+\dfrac 1{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac 1n-\dfrac{1}{n+1},$$于是$$S_n=n+1-\dfrac{1}{n+1},n\in\mathbb N^*.$$这样就有\begin{eqnarray*}\begin{split} (4S_n)^2-c_{2n-1}&=16(n+1)^2+\dfrac{16}{(n+1)^2}-(5n-3)^2-32\\
&=-9n^2+62n+\dfrac{16}{(n+1)^2}-25\\
&=-9(n+1)^2+80(n+1)+\dfrac{16}{(n+1)^2}-96.\end{split} \end{eqnarray*}设 $\varphi(x)=-9x^2+80x+\dfrac{16}{x^2}$，则其导函数$$\varphi'(x)=-18x+80-\dfrac{32}{x^3},$$于是当 $x\geqslant 2$ 时，$\varphi(x)$ 先增后减，且极大值点位于区间 $(4,5)$．当 $n=3$ 时，原式值为 $81$；当 $n=4$ 时，原式值为 $\dfrac{1991}{25}$，因此所求的最大值为 $81$．