若 $\lambda$ 为实数，若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{x^2-\lambda}+2\sqrt{x^2-1}=x$ 有实数解，则 $\lambda$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac 43\right]$
【解析】
设 $y=\sqrt{x^2-\lambda}=x-2\sqrt{x^2-1}$，则双曲线 $H_1:x^2-y^2=\lambda$ 与双曲线 $H_2:x^2-\dfrac{(x-y)^2}4=1$ 在 $y\geqslant 0$ 的半平面有公共点（通过画出双曲线的渐近线 $x^2-\dfrac {(x-y)^2}{4}=0$ 可以很容易得到双曲线的草图），如图．
考虑到 $H_1$ 的渐近线为 $y=\pm x$，于是 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 43\right]$．
考虑到 $H_1$ 的渐近线为 $y=\pm x$，于是 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 43\right]$．
题目
答案
解析
备注
