设 $A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(t+4,4)$，$D(t,4)$（$t\in\mathbb R$）．记 $N(t)$ 为平行四边形 $ABCD$ 内部（不包含边界）的整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则函数 $N(t)$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
$\{9,11,12\}$
【解析】
如图，设直线 $y=1$，$y=2$，$y=3$，分别被平行四边形截得的线段为 $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$．
根据题意，$N(t)$ 就是线段 $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ 上（不包含端点）的整点个数之和．区间 $(m,m+4)$（$m\in\mathbb R$）内的整点个数$$f(m)=\begin{cases} 3,&m\in\mathbb Z,\\ 4,&m\notin \mathbb Z.\end{cases}$$而点 $A_1,A_2,A_3$ 的横坐标分别为 $\dfrac 14t,\dfrac 12t,\dfrac {3}{4}t$，于是$$N(t)=f\left(\dfrac 14t\right)+f\left(\dfrac 12t\right)+f\left(\dfrac 34t\right)=\begin{cases} 9,&t\equiv 0\pmod{4},\\
11,& t\equiv 2\pmod {4},\\ 12,& e.t.c,\end{cases}$$于是函数 $N(t)$ 的值域是 $\{9,11,12\}$．
根据题意，$N(t)$ 就是线段 $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ 上（不包含端点）的整点个数之和．区间 $(m,m+4)$（$m\in\mathbb R$）内的整点个数$$f(m)=\begin{cases} 3,&m\in\mathbb Z,\\ 4,&m\notin \mathbb Z.\end{cases}$$而点 $A_1,A_2,A_3$ 的横坐标分别为 $\dfrac 14t,\dfrac 12t,\dfrac {3}{4}t$，于是$$N(t)=f\left(\dfrac 14t\right)+f\left(\dfrac 12t\right)+f\left(\dfrac 34t\right)=\begin{cases} 9,&t\equiv 0\pmod{4},\\11,& t\equiv 2\pmod {4},\\ 12,& e.t.c,\end{cases}$$于是函数 $N(t)$ 的值域是 $\{9,11,12\}$．
题目
答案
解析
备注
