作与直线 $x=-1$ 的距离为 $3$ 的两条直线 $x=2$，$x=-4$，那么“到定点与定直线 $x=-1$ 的距离之和为 $3$”，就转化成了“在直线 $x=-1$ 的左侧到定点的距离与到直线 $x=-4$ 的距离相等，或在直线 $x=-1$ 的右侧到定点的距离与到直线 $x=2$ 的距离相等”，如左图．曲线 $C$ 由抛物线弧 $y^2=-2\left(x-\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$ 和抛物线弧 $y^2=10\left(x+\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$ 共同组成．容易求出曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $\left(0,\pm\sqrt 3\right)$．接下来研究对于 $B(a,1)$，$|PB|+|PA|$ 的最小值 $d(a)$．如右图，设直线 $y=1$ 与直线 $x=-4$，抛物线弧 $y^2=10\left(x+\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$，直线 $x=-1$，抛物线弧 $y^2=-2\left(x-\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$，直线 $x=2$ 依次交于 $B_1\left(-4,1\right)$，$B_2\left(-\dfrac 75,1\right)$，$B_3\left(-1,1\right)$，$B_4\left(1,1\right)$，$B_5\left(2,1\right)$．以 $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ 为分界点分类讨论，可得$$d(a)=\begin{cases} \sqrt{a^2-2a+2},&a<-\dfrac 75,\\ a+4,&-\dfrac 75\leqslant a\leqslant -1,\\ 2-a,&-1<a\leqslant 1,\\ \sqrt{a^2-2a+2},&a>1.\end{cases}$$