已知 $P$ 为圆 $O_1:(x-a)^2+(y-b)^2=b^2+1$ 与圆 $O_2:(x-c)^2+(y-d)^2=d^2+1$ 的交点，若 $ac=8$，$\dfrac ab=\dfrac cd$，则点 $P$ 与 $l:3x-4y-25=0$ 上的点 $Q$ 之间距离的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设 $P(m,n)$，$b=ka$，$d=kc$，则$$P\in O_1:(m-a)^2+(n-ka)^2=k^2a^2+1,$$即$$O_1:a^2-(2m+2kn)a+m^2+n^2-1=0,$$类似地，有$$P\in O_2:c^2-(2m+2kn)c+m^2+n^2-1=0,$$于是 $a,c$ 是关于 $t$ 的方程$$t^2-(2m+2kn)t+m^2+n^2-1=0$$的两个实根，于是$$ca=m^2+n^2-1,$$从而点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=9$．
因此点 $P$ 到直线 $l:3x-4y-25=0$ 的最小距离为 $2$．
因此点 $P$ 到直线 $l:3x-4y-25=0$ 的最小距离为 $2$．
题目
答案
解析
备注
