设关于 $x$ 的方程 $x(x-3)^2=m$ 有三个不同的实数解 $a,b,c$，且 $a<b<c$，则下列命题正确的是 ．
① $abc$ 的取值范围是 $(0,4)$；
② $a^2+b^2+c^2$ 为定值；
③ $c-a$ 有最小值，没有最大值．
① $abc$ 的取值范围是 $(0,4)$；
② $a^2+b^2+c^2$ 为定值；
③ $c-a$ 有最小值，没有最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
① 由于函数 $f(x)=x(x-3)^2$ 的极大值为 $f(1)=4$，极小值为 $f(3)=0$，于是 $m$ 的取值范围是 $(0,4)$．原方程即 $x^3-6x^2+9x-m=0$，于是根据三次方程的韦达定理，有$$\begin{cases} a+b+c=6,\\ ab+bc+ca=9,\\ abc=m,\end{cases}$$因此 $abc$ 的取值范围即 $m$ 的取值范围，为 $(0,4)$．
② $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=18$ 为定值．
③ 易得 $1<b<3$，而 $a+c=6-b$，$ac=9-b(6-b)=b^2-6b+9$，于是\[\begin{split} c-a&=\sqrt{(a+c)^2-4ac}\\
&=\sqrt{(6-b)^2-4(b^2-6b+9)}\\
&=\sqrt{-3b^2+12b},\end{split}\]于是 $c-a$ 的取值范围是 $\left(3,2\sqrt 3\right]$，因此 $c-a$ 没有最小值，有最大值．
② $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=18$ 为定值．
③ 易得 $1<b<3$，而 $a+c=6-b$，$ac=9-b(6-b)=b^2-6b+9$，于是\[\begin{split} c-a&=\sqrt{(a+c)^2-4ac}\\
&=\sqrt{(6-b)^2-4(b^2-6b+9)}\\
&=\sqrt{-3b^2+12b},\end{split}\]于是 $c-a$ 的取值范围是 $\left(3,2\sqrt 3\right]$，因此 $c-a$ 没有最小值，有最大值．
题目
答案
解析
备注
