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锐角三角形 $ABC$ 中，若 $\sin A=2\sin B\sin C$，则 $\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    三角形中的三角恒等式
【答案】
$16$
【解析】
根据题意，有 $\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C$，于是$$\tan B+\tan C=2\tan B\cdot \tan C,$$于是\[\begin{split} \tan A\tan B\tan C&=\tan A+\tan B+\tan C\\
&=\tan A+2\tan B\tan C\\
&\geqslant 2\sqrt{2\tan A\tan B\tan C},\end{split}\]当 $\tan A=2\tan B\cdot\tan C$ 时等号成立．于是$$\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,$$从而$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C\geqslant 16,$$等号当 $\tan A=4$，$\tan B=2+\sqrt 2$，$\tan C=2-\sqrt 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $16$．
题目 答案 解析 备注
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