根据题意，有 $ac=4$，且 $a,c>0$，于是$$\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{9}{a+9}=\dfrac{a}{4+a}+\dfrac{9}{a+9},$$设 $m=a+4$，$n=a+9$，则 $a=\dfrac{9m-4n}5$，$1=\dfrac{n-m}5$，于是$$\dfrac{a}{4+a}+\dfrac{9}{a+9}=\dfrac 95-\dfrac 45\cdot \dfrac nm+\dfrac 95-\dfrac 95\cdot \dfrac mn\leqslant \dfrac {18}5-2\sqrt{\dfrac 45\cdot \dfrac 95}=\dfrac 65,$$等号当 $2n=3m$，即 $a=6$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 65$．
其他解法也可以不换元直接求代数式的最值，由$$\dfrac 1{c+1}+\dfrac 9{a+9}=\dfrac a{a+4}+\dfrac 9{a+9}=\dfrac{a^2+18a+36}{a^2+13a+36}=1+\dfrac 5{a+\dfrac{36}{a}+13}\leqslant \dfrac 65.$$当 $a=6$ 时取到等号．