若存在实数 $\varphi$，使圆面 $x^2+y^2\leqslant 4$ 恰好覆盖函数 $y=\sin\left(\dfrac{\pi}kx+\varphi\right)$ 的图象的最高或最低点共 $3$ 个，则正实数 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 3\right]$
【解析】
由于 $\varphi$ 控制着正弦型函数的图象的左右平移，因此我们思考一个与原题本质相同，但更容易理解的问题．
新问题 一个圆心在 $x$ 轴上的圆面如果恰好覆盖 $y=\cos x$ 的图象的最高或最低点共 $3$ 个，那么它的半径的取值范围是多少？
不难知道，这个圆的半径的取值范围是 $\left[\sqrt{\pi^2+1},\sqrt{4\pi^2+1}\right)$．回到原问题，当函数的最小正周期由 $2\pi$ 变为 $2k$ 时，可得$$\sqrt{k^2+1}\leqslant 2<\sqrt{4k^2+1},$$解得 $k$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 3\right]$．
不难知道，这个圆的半径的取值范围是 $\left[\sqrt{\pi^2+1},\sqrt{4\pi^2+1}\right)$．回到原问题，当函数的最小正周期由 $2\pi$ 变为 $2k$ 时，可得$$\sqrt{k^2+1}\leqslant 2<\sqrt{4k^2+1},$$解得 $k$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 3\right]$．
题目
答案
解析
备注
