过直线 $l:x+y=2$ 上任意点 $P$ 向圆 $C:x^2+y^2=1$ 作两条切线，切点分别为 $A,B$．线段 $AB$ 的中点为 $Q$，则点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2\right)$
【解析】
设 $P(m,2-m)$，则切点弦 $AB$ 所在的直线方程为$$mx+(2-m)y=1,$$直线 $OQ$ 的方程为$$(2-m)x-my=0,$$联立可解得$$Q\left(\dfrac {m}{m^2+(2-m)^2},\dfrac {2-m}{m^2+(2-m)^2}\right).$$从而有点 $Q$ 到 $l$ 的距离$$d=\sqrt 2\left|\dfrac 1{2(m-1)^2+2}-1\right|,$$因此 $d$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},\sqrt 2\right)$．
题目
答案
解析
备注
