已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 32$，$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac{1}{(n+2)^2}-\dfrac{1}{n^2}$，记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_3}+\dfrac{1}{S_5}-\cdots -\dfrac{1}{S_{2007}}+\dfrac{1}{S_{2009}}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1006}{2011}$
【解析】
由累加法知$$a_n^2=\dfrac 1{(n+1)^2}+\dfrac 1{n^2}+1,$$所以 $a_n=1+\dfrac 1n-\dfrac{1}{n+1}$．直接求和得 $S_n=n+1-\dfrac 1{n+1}$，所以$$\dfrac 1{S_n}=\dfrac {n+1}{n(n+2)}=\dfrac 12\left(\dfrac 1n+\dfrac 1{n+2}\right).$$所求的式子记为 $M$，有$$2M=1+\dfrac 13-\left(\dfrac 13+\dfrac 15\right)+\left(\dfrac 15+\dfrac 17\right)-\left(\dfrac 17+\dfrac 19\right)+\cdots+\left(\dfrac 1{2009}+\dfrac 1{2011}\right)=\dfrac{2012}{2011},$$所以 $M=\dfrac{1006}{2011}$．
题目
答案
解析
备注
