平面内向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$ 满足 $\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$，$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$
【解析】
设 $\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$，于是条件 $(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$ 即$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BC}=0.$$将直角三角形 $ABC$ 补成一个矩形 $ACBD$，如图：
由矩形的性质知$$OA^2+OB^2=OC^2+OD^2,$$即 $8=1+OD^2$，解得 $OD=\sqrt 7$．又因为 $AB=CD=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，所以$$OD-OC=\sqrt 7-1\leqslant CD\leqslant OD+OC=\sqrt 7+1,$$等号可取到，所以所求范围为 $[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1]$．
由矩形的性质知$$OA^2+OB^2=OC^2+OD^2,$$即 $8=1+OD^2$，解得 $OD=\sqrt 7$．又因为 $AB=CD=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，所以$$OD-OC=\sqrt 7-1\leqslant CD\leqslant OD+OC=\sqrt 7+1,$$等号可取到，所以所求范围为 $[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1]$．
题目
答案
解析
备注
