已知 $\cos 2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma =1$，$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =0$，则 $\tan\gamma$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 2$
【解析】
已知条件即$$\begin{cases} \cos^2\gamma =\sin^2\alpha+\sin^2\beta,\\ \sin \gamma =-\sin\alpha-\sin\beta,\end{cases}$$于是$$\tan^2\gamma =\dfrac{\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)^2}{\sin^2\alpha+\sin^2\beta}\leqslant 2,$$等号当 $\sin\alpha=\sin\beta$ 时取得．又当 $\sin\alpha=\sin\beta=\dfrac{\sqrt 6}6$，$\sin\gamma =-\dfrac{\sqrt 6}3$，$\cos\gamma =-\dfrac{\sqrt 3}3$ 时，$\tan\gamma =\sqrt 2$，于是所求的最大值为 $\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
